Источники ионизируещего излучения Электронные усилители и генераторы

Интегралы и их приложения Поверхностные интегралы  2 рода Скалярное поле Ротор (вихрь) векторного поля Задача о вычислении массы тела. Действия с матрицами. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Предел монотонной функции Числовые ряды Знакопеременные числовые ряды Ряд Фурье для четных и нечетных функций Вычисление интеграла, матриц, рядов


Примеры решения задач по математике. Вычисление интеграла, матриц, рядов

Поверхностные интегралы 2 рода.

Пусть через замкнутую поверхность проходит поток жидкости или тепла. Входящий и выходящий потоки дают взаимоисключающий результат и поэтому их надо различать. Различать их можно по знаку cos, где  - угол между нормальным вектором внешней стороны замкнутой поверхности и направляющим вектором потока. Для выходящего

потока  - острый угол и cos>0 , для входящего потока   - тупой угол и cos<0 . Для описания потоков используют специальные поверхностные интегралы, которые учитывают направление потоков через поверхность. Объем тел вращения Геометрические приложения определенного интеграла

Опр. Поверхностным интегралом 2-ого рода для функции f(x,y,z) по двухсторонней ориентированной поверхности G наз. конечный предел интегральной суммы, полученной путем разбиения G на малые участки и проектирования их сразу на координатные плоскости

J =  =  ( 10 )

Множитель  означает, что вклады от разных участков G берутся с разными знаками.

Так как элемент поверхности dS и его проекция пропорциональны dxdy = cosdS, то от интеграла 2 рода легко перейти к интегралу 1 рода

 =  ( 11 )

в который входит cos . Знак cos  для элемента поверхности  и определит знак вклада этого элемента в интегральную сумму ( 10 ). Появление членов с разными знаками происходит только при рассмотрении цилиндрических и замкнутых поверхностей.

При проектировании  G на плоскости xOz, yOz получаем аналогичные интегралы и строим обобщенный поверхностный интеграл 2 рода с учетом трех различных функций

 =

=  ( 12 )

который распространяется на определенную заранее сторону двухсторонней поверхности

Если G задана явным уравнением  z = z(x,y) и точки (х,у) образуют замкнутую область D , где сама функция и ее производные ,  непрерывны, то все члены интегральной суммы ( 10 ) имеют одинаковый знак и вычисление интеграла ( 11 ) сводится к вычислению обычного двойного интеграла

 J =  =  ( 13 )

Замена z на z(x,y) дает переход к значениям функции на самой поверхности.

Необходимо только заранее определить острый или тупой угол с осью Oz образуют нормальные вектора выбранной стороны поверхности. Если угол тупой, то у интеграла меняют знак. Если поверхность G замкнута, то она разделяется на несколько кусочно- ориентированных поверхностей.

Пр. Вычислить интеграл , где G – внешняя сторона куба, составленного плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, x = 1, y = 1, z = 1.

Решение: J = J1(z=0) + J2(y=0) + J3(x=0) + J4(z=1) + J5(y=1) + J6(x=1).

G1: z = 0dz = 0,1Oz=>/2(-), J1 =(-)(0+0+) =0. Аналогично J2 = J3 = 0 . G4 : z = 1 dz = 0, 4 Oz = 0 </2(+), G4 : J4 = (+)(0 + 0 +) = 1 – площадь единичного квадрата. Аналогично J5 = J6 = 1 . Окончательно J = 3 .

Задача о массе поверхности . Пусть на гладкой поверхности z = z(x,y) распределена масса с поверхностной плотностью = f(x,y,z).

Так как поверхностные интегралы 1 и 2 рода сводятся к обычным двойным интегралам, то различные задачи, которые приводят к вычислению двойных интегралов, могут быть представлены через поверхностные интегралы.

Общий принцип интегрального исчисления : формулы Грина, Стокса, Остроградского – Гаусса, Ньютона – Лейбница позволяют интегралы по некоторой пространственной области заменить на интегралы взятые по границам этой области.


Математика Примеры решения задач