Основы работы с графикой Редактирование изображений Выполнение графических работ http://matlub.ru/

Интегралы и их приложения Поверхностные интегралы  2 рода Скалярное поле Ротор (вихрь) векторного поля Задача о вычислении массы тела. Действия с матрицами. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Предел монотонной функции Числовые ряды Знакопеременные числовые ряды Ряд Фурье для четных и нечетных функций Вычисление интеграла, матриц, рядов


Примеры решения задач по математике. Вычисление интеграла, матриц, рядов

Ряд Фурье для четных и нечетных функций.

Лемма.  Интеграл от функции f(x) на симметричном интервале [-a, a] равен 0 для нечетной функции и для четной функции равен удвоенному значению интеграла по половине промежутка

 

 - нечетная функция; 2 - четная функция ( 23 ) Определение двойного интеграла Понятие интеграла может быть расширено на функции двух и большего числа переменных. Рассмотрим, например, функцию двух переменных z = f (x,y).

График четной функции симметричен, нечетной функции антисимметричен. Каждый из ни распадается на две части на интервалах [-a, 0] и [0, a], которые ограничивают одинаковые по площади криволинейные трапеции. Но знаки этих площадей совпадают для четных функций и противоположны для нечетных. Для четной функции имеем

=+={x=-z} = -+=+

Для нечетной функции приходим к разности одинаковых интегралов. Произведение четной и нечетной функций есть функция нечетная, произведение двух нечетных функций есть функция четная. Эти свойства интегралов существенно упрощают вид ряда Фурье для четных и нечетных функций.

Для четных функций ряд Фурье имеет вид :

f(x) = a0/2 +ancos nx , где а0 = 2/; an = 2/; bn = 0 ( 24 )

для нечетных функций:  f(x) =  bnsin nx , где bn = 2/; an = 0 ( 25 )

Пр. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2, если на [-,]она имеет вид f(x) = |x| .

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле и является четной, поэтому bn = 0,

а0 = 2/= а0 = 2/= ; an = 2/ = 2/=

= 2/n[x sin nx|0- ] = (2/n2)[cos n- 1] = (2/n2)[ ( (-1)n - 1) =

= (2/n2){. Т.о., f(x) = /2 - 4/ (2m -1)-2 cos(2m-1) x

Ряд Фурье для функций с периодом 2l .

Пусть функция f(x) задана в симметричном промежутке [-l, l] произвольной длины 2l > 0 . Если использовать подстановку x = ly/, где -< y < , то получаем функцию f(ly/) от аргумента у в промежутке [-,] и ее можно разложить в ряд Фурье по переменной у : f(ly/) = a0/2 + ancos nу + bnsin nу

а0 = 1/; an = 1/; bn = 1/

Теперь вернемся к прежней переменной  x, используя обратное преобразование y = x/l , тогда 

f(x) = a0/2 + ancos nx/l + bnsin nx/l ( 26 )

а0 = 1/l ; an = 1/l ; bn = 1/l ( 27 )

Эти формулы определяют разложение в ряд Фурье функции с периодом произвольной длины.

Пр. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2l = 2, заданную формулой

 f(x) = x , x[-1, 1]

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле, нечетная, поэтому an = 0 ,

bn = 1/l= 2= (-2/n)x cos nx|01 + (2/n) =

= (-2/n)x cos n= 2(-1)n+1/ n

В точках непрерывности f(x) = 2/(-1)n+1/ n sin x , а в точках разрыва равна 0.

Разложение в ряд Фурье непериодических функций.

В ряд Фурье можно разлагать не только периодические функции, но и любые ограниченные функции, определенные на конечном участке числовой оси, если вне этого участка поведение функции нас не интересует.  Если участок оси симметричен [-l, l] , то используется разложение ( 26 ), ( 27 ). Если функция f(x) задана на сегменте [0, l], то для разложения в ряд Фурье достаточно доопределить ее в сегменте [-l, 0] произвольным образом, а затем разложить в ряд Фурье, считая ее заданной в сегменте [-l, l]. Наиболее удобно доопределять функцию условием четности f(-x) = f(x) или нечетности f(-x) = -f(x). В этом случае используются разложение только по синусам или только по косинусам в формулах ( 26 ), ( 27 ).

Пр. Разложить в ряд Фурье функцию заданную в сегменте [0, 1] уравнением f(x) = x

Решение 1. Доопределим функцию f(x) на сегменте  [-1, 0] нечетным образом, т.е. f(x) = x на сегменте [-1, 1]. В этом случае приходим к рассмотренной выше задаче

f(x) = 2/[(-1)n+1 sin n x] /n

Решение 2. Доопределим функцию f(x) на сегменте [-1, 0] четным образом, т.е. f(x) = -x . В этом случае bn = 0 , а0 = 1/l= 2= 1 ;

an = 1/l= 2 = - (2/2 )(1 - cosn)/n2 =

= - (2/2n2 ) (1 – (-1)n) = - (2/2n2 ) {

или а2m = 0 , a2m+1 = - 4/2 (2m+1)2 , т.е. получаем разложение f(x) по нечетным гармоникам косинуса f(x) = - 4/2cos (2m+1)x / (2m+1)2

Оба решения на сегменте [0, 1] дают одинаковый численный и графический результат, а за его пределами значения функций различны.

Тригонометрические функции.

Комплексные числа.

Геометрическая интерпретация КЧ. Действительному числу соответствует точка на числовой оси, а КЧ a + b i соответствует точка M(a;b) на координатной плоскости или её радиус-вектор .

Рассмотрим извлечение корней из действительных чисел. Пусть z = a и a > 0 , т.е. перед числом а стоит множитель 1 = (cos 0 + i sin 0) или  – 1 = (cos  + i sin).


Математика Примеры решения задач