Интегралы и их приложения Поверхностные интегралы  2 рода Скалярное поле Ротор (вихрь) векторного поля Задача о вычислении массы тела. Действия с матрицами. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Предел монотонной функции Числовые ряды Знакопеременные числовые ряды Ряд Фурье для четных и нечетных функций Вычисление интеграла, матриц, рядов


Примеры решения задач по математике. Вычисление интеграла, матриц, рядов

Знакопеременные числовые ряды.

Опр. Знакопеременным наз. числовой ряд составленный из положительных и отрицательных членов.

Признак абсолютной сходимости. Если ряд, составленный из модулей элементов знакопеременного ряда, сходится, то и сам знакопеременный ряд является сходящимся ,

т.е. из сходимости ряда  (a) следует сходимость ряда  (b)

Док-во. В частичной сумме ряда (b) Sn выделим все положительные слагаемые Sn’ и отрицательные слагаемые  Sn’’. Тогда имеем для (b) : Sn = Sn’ - Sn’’ и для (а) :

sn = Sn’ + Sn’’  ,следовательно, Sn < sn . Из условия сходимости ряда (а) следует sn < s  или Sn < sn < s , т.е. частичные суммы Sn ограничены и, следовательно, знакопеременный ряд (b) сходится.

Признак абсолютной сходимости является достаточным, но не необходимым. Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между интегралом по замкнутой поверхности σ  в направлении ее «внешней» нормали и тройным интегралом по области V, ограниченной этой поверхностью

Пр. Ряд   сходится по признаку Лейбница ( un = 1/n > un+1 = 1/(n+1)  - да,

lim un = lim 1/n = 0 - да ), а гармонический ряд  является расходящимся.

Опр. Сходящийся знакопеременный ряд наз. абсолютно сходящимся, если также сходится ряд составленный из модулей его членов, и условно сходящимся, если ряд из модулей не сходится.

На абсолютно сходящиеся ряды переносятся все основные свойства конечных сумм.

Функциональный ряд.

Опр. Функциональным наз. ряд члены которого являются функциями от х .

 = u1(x) + u2(x) + u3(x) + . . . = S(x) ( 4 )

При фиксированном x = a функциональный ряд становится числовым.

Опр. Областью сходимости функционального ряда наз. множество всех значений х при которых он сходится. В области сходимости сумма ряда S(x) является функцией от х.

Пр. т.к. члены ряда положительны применим признак Даламбера

lim un+1 / un = e-x < 1 при х Î(0, ¥ ), т.е. ряд в этом интервале сходится.

Степенной ряд.

Опр. Степенным наз. функциональный ряд вида

 = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2 + . . . ( 5 )

где  х0 и коэффициенты ряда аn Î R . При х0 = 0 получаем ряд по степеням х

 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + . . . ( 6 )

Теорема Абеля Если степенной ряд ( 6 ) сходится при х = х1, то он абсолютно сходится при всех значениях х меньших х1 по модулю ( |x| < |x1| ). Если ряд ( 6 ) расходится при х = х2 , то он расходится при всех значениях х больших х2 по модулю ( |x| > |x2| ).

Док-во. Пусть при х = х1 ряд ( 6 ) сходится, т.е.  и все его члены ограничены  anxn < M. Преобразуем ( 6 ) к виду  ( 7 ) 

Введем в ряд  ( 7 ) модули  ( 8 )

и сравним его с рядом  ( 9 )

Большими оказываются члены ряда ( 9 ) : |an x1n| (|x/x1|)n < M (|x/x1|)n , который является геометрической прогрессией. При |x| < |x1| ряд ( 9 ) сходится, следовательно, сходится и ряд с меньшими членами ( 8 ) и абсолютно сходятся ряды ( 7 ) и ( 6 ).

Пусть при х = х2 ряд ( 6 ) расходится. Предположим, что существует х большее  х2 по модулю (|x| > |x2|), при котором ряд ( 6 ) сходится. Но тогда он должен сходится и при x2. Это противоречие исключает предположение о сходимости ряда при |x| > |x2| .

Радиус сходимости. Из теоремы Абеля следует, что должно существовать такое граничное значение x =R ниже которого ряд ( 6 ) сходится, а выше расходится.

Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена. Алгоритм разложения: 1) Составляем для функции f(x) ряд Тейлора ;

Применение степенных рядов к приближенным вычислениям. Вычисление значений функций.


Математика Примеры решения задач