Интегралы и их приложения Поверхностные интегралы  2 рода Скалярное поле Ротор (вихрь) векторного поля Задача о вычислении массы тела. Действия с матрицами. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Предел монотонной функции Числовые ряды Знакопеременные числовые ряды Ряд Фурье для четных и нечетных функций Вычисление интеграла, матриц, рядов


Примеры решения задач по математике. Вычисление интеграла, матриц, рядов

Ряды.Числовые ряды.

Сложную функцию f(x) часто представляют как линейную комбинацию нескольких простых функций f(x) @ Pn(x). Это упрощает ее исследование. Чем больше простейших функций используется в Pn(x) , тем точнее приближение. При бесконечном росте числа слагаемых (n ® ¥) графики f(x) и ее апраксимации Pn(x)  могут совпасть полностью.

Задачу нахождения аппраксимирующих функций решает теория рядов.

Опр. Бесконечной числовой последовательностью наз. последовательность значений функции f(x) (определенной на всей числовой оси) при целочисленных значениях аргумента. Обозначения: un = f(n) , где n = 1, 2, 3, . . . или u1, u2, u3, . . . , un, . . . 

Пр. Если f(x) = 2x, то имеем 2,4,8, . . . , если f(x) = 1/2x, то имеем ½ ,1/4, 1/8, 1/16, . . .

Опр. Пределом числовой последовательности  un наз. число А, такое, что разность между ним и un при n ® ¥ делается бесконечно малой величиной

lim (un – A) = 0 или lim un = A при n ® ¥

Опр. Числовая последовательность наз. сходящейся если имеет конечный предел и расходящейся , если предел бесконечен. Задача. Даны уравнение кривой 2-го порядка и уравнение прямой.

Опр. Числовым рядом наз.сумма членов бесконечной числовой последовательности

u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . =  ( 1 )

Непосредственно просуммировать ряд нельзя, т.к. число слагаемых бесконечно. Приходится вводить специальную процедуру.

Опр.  Частичной суммой ряда Sn наз. сумма ее первых n членов. Sn =  

Частичные суммы ряда ( 1 ) образуют вспомогательную числовую последовательность

S1, S2, S3, . . . , Sn, . . . , где Sn = Sn – 1 + un , которая может сходится или расходится.

Опр. Суммой числового ряда ( 1 ) наз. предел последовательности частичных сумм ряда S = lim Sn при n ® ¥ ( 2 )

Ряд наз. сходящимся, если предел ( 2 ) конечен и расходящимся, если бесконечен.

Пр. Геометрическая прогрессия: a + aq + aq2 + aq3 + . . . Её частичную сумму Sn = аумножим на (1 –q). Тогда (1–q)а= a(1 –qn) или Sn = a(1 –qn)/(1– q). При |q| < 1 Sn имеет конечный предел: S = aq/(1 – q), а при |q| > 1  бесконечный.

 Т.о., этот ряд при |q| < 1 сходится, а при |q| > 1  расходится.

 Пр. Гармонический ряд 1 + ½ + 1/3 + ¼ + . . . расходится (ниже докажем).

Основные свойства сходящихся рядов.

10  Отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость ряда.

Док-во.  Имеем  и. Пусть , тогда

lim Sn = lim(Sk + sn – k) = Sk + lim sn – k при n ® ¥

Если существует конечный предел слева, то существует предел и справа, т.е. укороченный ряд тоже сходится.

20 Если все члены ряда имеют общий множитель, то он является общим множителем для всего ряда  = с = с S . Это свойство пределов.

30 Почленное сложение двух рядов приводит к сложению их сумм. (Это свойство пределов)  = + = S1 + S2

Необходимый признак сходимости.

Если числовой ряд ( 1 ) сходится, то общий член ряда un стремится к нулю с ростом n

lim un = lim (Sn – Sn – 1) = S – S = 0 при n ® ¥ 

Если lim un ¹ 0 при n ® ¥ , то ряд расходится.

Точка a называется точкой разрыва функции f(x), если эта функция не является непрерывной в данной точке. Записав отрицание определения непрерывной функции, получим определение точки разрыва:

Перечислим основные глобальные свойства непрерывных функций.

Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов. 1.) Признак сравнения 1. Пусть для членов рядов (а) и (b) выполняется неравенство  0 £ un £ vn , тогда из сходимости ряда (b) следует сходимость ряда (a) и из расходимости ряда (a) следует расходимость ряда (b).


Математика Примеры решения задач