Параллельное соединение индуктивно связанных катушек Курс лекций по теории электрических цепей

Интегралы и их приложения Поверхностные интегралы  2 рода Скалярное поле Ротор (вихрь) векторного поля Задача о вычислении массы тела. Действия с матрицами. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Предел монотонной функции Числовые ряды Знакопеременные числовые ряды Ряд Фурье для четных и нечетных функций Вычисление интеграла, матриц, рядов


Примеры решения задач по математике. Вычисление интеграла, матриц, рядов

Действия с матрицами.

1. Суммой матриц  и  одинакового размера называется матрица  того же размера, причем , , .

2. Произведением матрицы  на число λ называется матрица  того же размера, что и матрица А, причем .

3.Произведением  матриц А и В (размеров  и  соответственно) называется матрица С размера , такая, что

 (3)

(поэлементное умножение i-й строки матрицы А на k-й столбец матрицы В).

4. Транспонированной к матрице  называется матрица  такая, что , , . Курс лекций по математике Задача Дирихле для круга Решение дифференциальных уравнений

Матрица  называется канонической, если в начале ее главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю. Например,

.

Любая матрица А может быть приведена к каноническому виду путем элементарных преобразований:

1) перестановки столбцов (строк);

2) умножения элементов столбца (строки) на число, отличное от нуля;

3) прибавления к элементам какого-либо столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на число.

Матрицы, получаемые в результате элементарных преобразований, называются эквивалентными: ~.

5. Число r единиц, стоящих на главной диагонали канонической матрицы , не зависит от способа приведения матрицы А к каноническому виду и называется рангом исходной матрицы А: r(A) = r. Эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг.

Рангом матрицы А называется наибольший порядок отличного от нуля минора.

Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы заключается в том, что матрицу А приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований; количество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы А.

Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы А состоит в следующем. Необходимо:

1. Найти какой-нибудь минор М1 первого порядка (т.е. элемент матрицы), отличный от нуля; если такого минора нет, то матрица А нулевая и ее ранг r(A) = 0.

2. Вычислять миноры второго порядка, содержащие М1 (окаймляющие М1), до тех пор, пока не найдется минор М2, отличный от нуля. Если такого минора нет, то ее ранг r(A) = 1; если есть, то . И т.д.

k. Вычислять (если они существуют) миноры k-го порядка, окаймляющие минор . Если таких миноров нет или они равны нулю, то , если есть хотя бы один минор , то  и процесс вычисления продолжается.

 При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на каждом шаге найти всего один ненулевой минор k-го порядка, причем искать его необходимо только среди миноров, содержащих минор

Пример 1. Найти ранг  матрицы

.

Решение.

Приведем матрицу А к каноническому виду  путем элементарных преобразований. Прибавляя к элементам первого столбца элементы третьего, а из элементов третьего вычитая элементы второго столбца соответственно, получим

А~.

Умножим элементы первого столбца на , затем вычтем из элементов третьей строки элементы первой строки соответственно:

А~~ .

Из элементов третьей строки вычтем элементы второй, умноженные на 4, а затем к элементам второго и третьего столбцов прибавим элементы первого столбца, умноженные соответственно на 3 и на 1:

А~~.

Таким образом, ранг матрицы А равен 2.

Пример 2. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров.

.

Решение.

Рассмотрим минор первого порядка , следовательно, ранг матрицы .

Далее рассмотрим минор второго порядка: , т.к. минор второго порядка отличен от нуля, то . Найдем значение минора третьего порядка:

, следовательно, ранг матрицы равен 3, т.е. .

6. Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Найти определитель исходной матрицы. Если = 0, то матрица А – вырожденная и обратная ей матрица  не существует. Если , то матрица А – невырожденная и обратная матрица существует.

2. Найти матрицу , транспонированную к матрице А.

3. Найти алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы , ,  и составить из них присоединенную матрицу : , , .

4. Вычислить обратную матрицу по формуле: .

5. Проверить правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения: .

Определители. Правила вычисления определителей.

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

 Метод обратной матрицы решения систем алгебраических уравнений заключается в нахождении обратной матрицы по одному из алгоритмов, представленных в п.4, и использовании формулы для нахождения решения системы.


Математика Примеры решения задач