Интегралы и их приложения Поверхностные интегралы  2 рода Скалярное поле Ротор (вихрь) векторного поля Задача о вычислении массы тела. Действия с матрицами. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Предел монотонной функции Числовые ряды Знакопеременные числовые ряды Ряд Фурье для четных и нечетных функций Вычисление интеграла, матриц, рядов


Примеры решения задач по математике. Вычисление интеграла, матриц, рядов

Тройной интеграл. Задача о вычислении массы тела.

Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью r(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

Операция разбиения. Разделим V на n элементарных объемов DV1, DV3,V3, . . . , DVn и в пределах каждого из них выделим точку Mi().

2. Масса элементарного объема приближенно равна  r() DVi .

3. Приближенное значение массы всего тела определяет интегральная сумма

m(n) = r() DVi ( 15)

4. В пределе, когда n ® ¥ и все DVi ® 0 , получаем точное решение задачи

m = lim r() DVi º

Опр.  Тройным интегралом от функции трех переменных f(x,y,z) по объему V наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения объема V на элементарные области. Исследование функций и построение их графиков

J =  = ( 16 )

Физический смысл тройного интеграла – масса тела переменной плотности.

Основные свойства интеграла.

10. Постоянный множитель выносится за знак интеграла

а f(x,y,z) dx dy dz = аf(x,y,z) dx dy dz

т.к. общий множитель членов интегральной суммы можно вынести за скобку.

20. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов

 [f(x,y,z) + g(x,y,z)]dx dy dz = f(x,y,z) dx dy dz +g(x,y,z) dx dy dz

т.к. такая интегральная сумма разделяется на две части.

30 . Аддитивность области интегрирования. Если V = V1 + V2 , то

f(x,y,z) dx dy dz = f(x,y,z) dx dy dz + f(x,y,z) dx dy dz

40.  Интеграл от функции f(x,y,z) = 1 численно равен объему области интегрирования V

V = dx dy dz

50 . Теорема о среднем. f(x,y,z) dx dy dz = f() V

Тройной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение объема, области интегрирования V , на значение функции f() в некоторой точке, т.к. любому телу с переменной плотностью всегда можно сопоставить тело с постоянной плотность f() = m/V при таком же объеме V и массе m . Точка с координатами  () всегда существует в области V.

Вычисление интегралов.

Вычисление тройных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.

Прямоугольные координаты - x, y, z  .

1. V - прямоугольный параллепипед ( a  x  b , c  y  d , p  z q ) , тогда

f(x,y,z) dx dy dz = dxdyf(x,y,z) dz ( 17 )

Преобразования плоских областей. Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной к криволинейной системам координат.

Поверхности второго порядка .Общий вид уравнения поверхности в R3 : F(x,y,z) = 0 .

При вычислении внутренних интегралов оставшиеся переменные  рассматриваются как константы.


Математика Примеры решения задач