Интегралы и их приложения Поверхностные интегралы  2 рода Скалярное поле Ротор (вихрь) векторного поля Задача о вычислении массы тела. Действия с матрицами. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Предел монотонной функции Числовые ряды Знакопеременные числовые ряды Ряд Фурье для четных и нечетных функций Вычисление интеграла, матриц, рядов


Примеры решения задач по математике. Вычисление интеграла, матриц, рядов

Приложения криволинейных интегралов 2-ого рода.

Рассмотрим криволинейный интеграл 2-ого рода

J = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz ( 11 )

где P, Q, R – некоторые ограниченные непрерывные функции, а L - произвольная линия в пространстве, соединяющая точки А и В. Пусть линию определяет векторное уравнение  = (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, ( t1  t  t2 ) . Тогда дифференциал радиус-вектора

 d = ( xt`i + yt`j + zt`k ) dt = {dx, dy, dz} задает направление и величину смещения при движении по кривой в окрестности произвольной точки.

Исследование функций с помощью производной Возрастание и убывание функций

Величины P, Q, R можно рассматривать как компоненты вектора   = (M) = {P,Q,R }, значения которого меняются от точки к точке пространства. Такой переменный вектор определяет векторное поле. Например, поле сил, воздействующих на тело массыm. При движении тела по кривой L в поле сил производится работа. По определению, на малом прямолинейном участке пути работа равна скалярному произведению вектора силы (Mi) на вектор смещения i , т.е. Ai = (Mi) i . Разделим кривую L на n малых, почти прямолинейных участков, и составим интегральную сумму

A(n) =  (Mi) i = [ P(Mi) xi + Q(Mi) yi + R(Mi) zi ] ( 12 )

Пределом интегральной суммы ( 12 ) при n является криволинейный интеграл 2-ого рода ( 11 ) или J =  , т.е. криволинейный интеграл 2 рода есть интеграл вдоль кривой от скалярного произведения вектора силы и вектора смещения.

Его механический смысл - работа по перемещению тела в поле переменных сил. Произведенная работа может зависеть или не зависеть от выбранного пути при перемещении из точки  А в точку В . Это свойство является важнейшей характеристикой всякого векторного поля. Определим условия независимости криволинейного интеграла от контура интегрирования.

Теорема . Криволинейный интеграл 2-ого рода ( 11 ) вдоль кривой L , соединяющей точки  А и В, не зависит от пути интегрирования при выполнении любого из следующих условий:

1) если его значение по произвольному замкнутому контуру равно 0

Pdx + Qdy + Rdz = 0 ( 13 ) 

2) если его подынтегральное выражение является полным дифференциалом функции трех переменных U(x,y,z)

Pdx + Qdy + Rdz = dU ( 14 )

3) если выполняются следующие равенства для частных производных от подынтегральных функций

 =  ,  =  ,  =  ( 15 )

Доказательства :

1) Пусть условие  ( 13 ) выполняется и даны контуры (L1) , (L2) , соединяющие точки А и В. Построим замкнутый контур (L) , идущий из А в В по (L1) и из В в А по (L2) , причем, (L2) проходим в обратном направлении. Тогда, 0 =  - , т.е.

2) Пусть условие ( 14 ) выполняется, тогда

 Pdx + Qdy + Rdz = dU = Ut`(x(t),y(t),z(t)) dt =

= U(t2) – U(t1) = U(B) – U(A) ( 16 )

т.е. значение интеграла зависит только от координат точек А и В. 

3) Из определения полного дифференциала dU = dx + dy + dz и формулы (14 ) следует, что функции P, Q, R являются частными производными U

P =, Q = , R =

 Из равенства смешанных производных  =  и т.д. следует ( 15 ).

В случае выполнения этих условий вычисляют первообразную функцию U(x,y,z) по полному дифференциалу. Для этого проводят интегрирование dU от А(x0,y0,z0) до В(x,y,z) по контуру, состоящему из прямых  || координатным осям и получают сумму трех простейших определенных интегралов, которая равна U(x,y,z) – U(x0,y0,z0) согласно ( 16 ).

Прямая A(x0,y0,z0)C(x,y0,z0) : y , z - const , dy = dz = 0 , J   JAC =

Прямая  C(x,y0,z0)D(x,y,z0) : x , z - const , dx = dz = 0 , J   JCD =

Прямая  D(x,y,z0)B(x,y,z) : y , x - const , dy = dx = 0 , J   JDB =

В результате получаем JAB = JAC + JCD + JDB = U(x,y,z) – U(x0,y0,z0) или формулу для вычисления первообразной функции

U(x,y,z) =  +  +  + const ( 17 )

Пр. Найти первообразную U(x,y,z) , если dU = (x2 – yz) dx + (y2 – xz) dy + (z2 – xy) dz

Решение. Функции P, Q, R непрерывны в пространстве  R3. Выберем A(x0,y0,z0) = O(0,0,0) и по формуле ( 17 ) находим

U(x,y,z) = + ++ С = = (x3 + y3 + z3) /3 - xyz + C

Проверка : Ux` = (x2 – yz), Uy` = (y2 – xz), Uz` = (z2 – xy) .

Формула Грина. Рассмотрим интеграл 2-ого рода по замкнутому контуру L на плоскости J = P(x,y) dx + Q(x,y) dy ( 18 ) Покажем, что интеграл ( 8 ) можно свести к двойному интегралу по области D , ограниченной контуром L.

Двойной интеграл и его свойства.

Двойной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение площади области интегрирования S на значение функции f() в некоторой точке, т.к. для любого цилиндрического бруса с искривленным верхом можно построить брус постоянной высоты, но с таким же основанием S и объемом  V , т.е. f() = V/S. 


Математика Примеры решения задач