Интегралы и их приложения Поверхностные интегралы  2 рода Скалярное поле Ротор (вихрь) векторного поля Задача о вычислении массы тела. Действия с матрицами. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Предел монотонной функции Числовые ряды Знакопеременные числовые ряды Ряд Фурье для четных и нечетных функций Вычисление интеграла, матриц, рядов


Примеры решения задач по математике. Вычисление интеграла, матриц, рядов

Ротор (вихрь) векторного поля.

Опр. Циркуляцией векторного поля. (M) = {P, Q, R} вдоль замкнутой кривой L наз. криволинейный интеграл от скалярного произведения вектора поля и дифференциала радиус-вектора перемещающегося вдоль кривой 

Ц L =  =  ( 32 )

Физический смысл циркуляции - работа по перемещению тела в поле переменных сил по произвольной замкнутой траектории, т.к. работа есть скалярное произведения вектора силы и вектора смещения. Бесконечно-малые функции и их свойства Функция a(х) называется бесконечно малой

Пусть в векторном поле  замкнутый контур L проходит через точки А, B, C, D. Линией  АС разделим его на два контура L1, L2 . Тогда циркуляцию вдоль L можно представить как сумму

циркуляций вдоль малых контуров при одинаковом направлении прохождения. Действительно,

Ц1 + Ц2 = +  +  +  =  +  = Ц L

т.к. общую границу АС проходим дважды в противоположных направлениях. Т.о., циркуляция по контуру L является аддитивной величиной и может быть представлена как сумма циркуляций по малым контурам, полученным путем наложения сетки линий на контур L. В пределе малым участком может оказаться отдельная точка. Тогда циркуляция по контуру сведется к сумме циркуляций вокруг всех точек охваченных контуром L.

Пр. Найти циркуляцию векторного поля = yi – x j + z k вдоль окружности 

  x = r cos t , y = r sin t , z = 1 в положительном направлении, т.е. 0 < t < 2

Решение: Ц =  = {dx =-r sin t; dy = r cos t; dz = 0} =- r2 = -2r2

Отношение циркуляции к площади круга S = r2 постоянно Ц /S = -2, даже при r.

Из этого следует, что циркуляция в самой точке начала координат равна -2 .

Циркуляцию векторного поля  (M) по контуру L по формуле Стокса можно представить как интеграл по поверхности G , натянутый на этот контур

Ц L ==

 ( 33 )

Выражение в квадратных скобках можно представить как скалярное произведение двух векторов : вектора  = { } и вектора 

(R’y – Q’z) i + (P’z – R’x) j + (Q’x - P’y) k  rot F ( 34 )

который наз. ротором (вихрем) векторного поля (M) = {P, Q, R}. В результате формула Стокса принимает следующую векторную форму

 =  ( 35 )

т.е. циркуляция векторного поля вдоль контура некоторой поверхности равна потоку вихря поля через эту поверхность.

Если в ( 35 ) размер G достаточно мал и вектора rot и  почти не меняются в пределах G, то можно применить теорему о среднем и заменить (rot ) ее значением в отдельной точке M*. Тогда интеграл по G даст площадь поверхности S и

(rot)|M* = 1/S  или | rot|cos = 1/S  ( 36 )

Эти формулы показывают: а) ротор характеризует величину циркуляции, приходящуюся на единицу площади поверхности охваченную контуром L; б) при изменении ориентации площадки G , т.е. угла , меняется и значение циркуляции. Максимальной циркуляция становится при  = 0. Перейдем в ( 36 ) к пределу S0, тогда M*M и ротор будет характеризовать циркуляцию вокруг отдельно взятой точки.

Опр. Ротором векторного поля(M) наз. вспомогательное векторное поле rot(M), вектора которого в каждой точке пространства определяют ориентацию плоскости, в которой циркуляция вокруг точки максимальна, а модуль ротора |rot(M)| дает значение этой циркуляции. 

Ротор векторного поля (M) = {P, Q, R} удобно записывать в виде оператора

rot (M) = x (M) =  ( 37 )

Физический смысл формулы Остроградского-Гаусса – циркуляция по произвольному замкнутому контуру в пространстве складывается из суммы циркуляций всех точек любой поверхности натянутой на этот контур.

Трубчатое или соленоидальное векторное поле, если div = 0 .

Обычный определенный интеграл есть частный случай криволинейного интеграла, когда в качестве L берется отрезок оси Ох. Поэтому свойства интегралов аналогичны.

Криволинейный интеграл 2 рода. Опр. Криволинейным интегралом 2-ого рода от функции f(x,y,z) вдоль пространственной кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки.


Математика Примеры решения задач