Рассмотрим теперь линейные дифференциальные уравнения первого порядка с переменными коэффициентами. Выпишем такое уравнение в общем виде:
у¢+a(x)y=b(x). (9)
Здесь a(x) ‑ некоторая функция аргумента x. Как мы это делали раньше, вначале будем искать решение однородного уравнения, положив функцию b(x) в правой части (9) равной нулю. Представив уравнение у¢+a(x)y=0 в виде
,
после интегрирования получаем
или
. (10)
Здесь A ‑ неопределенная константа, которую можно найти из начального условия y(0)=0. Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов
Пример. Решить уравнение y’+2xy=0 при начальном условии y(0)=3.
В этом случае
a(x)=2x,
и начальное условие определяет A=3. Искомое решение имеет вид
.
Перейдем к решению неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка с переменными коэффициентами. Положим в формуле (10) A=A(x), то есть будем считать множитель A некоторой функцией от x. Этот метод называется методом вариации произвольной постоянной, и с его помощью мы попытаемся решить уравнение (9) при условии, что b(x) есть некоторая функция, не равная тождественно нулю. Из формулы (10) получаем:
;
.
После подстановки этих выражений уравнение (9) принимает вид
,
откуда
следует уравнение относительно функции 
:
,
с решением
.
Подставив это выражение в (10), получим общее решение уравнения (9):
. (11)