Дифференцируемость ФНП http://agrofingroup.ru/ Расчет методом узловых потенциалов
Криволинейные интегралы Векторный анализ Поверхностные интегралы Числовые ряды Уравнения математической физики Элементы теории поля Найти циркуляцию векторного поля Интегральное исчисление Вычисление двойного интеграла

Производные и дифференциалы высших порядков

1. Частные производные высших порядков

  Пусть функция z =f(x,y) задана на области G. Пусть на G существуют частные производные  и . Они называются частными производными первого порядка функции f . Эти производные на G являются функциями от x и y: , . Они тоже могут иметь частные производные G. Частные производные этих функций φ и ψ называются частными производными второго порядка функции f:

,

,

,

.

Частные производные  и  взяты по различным переменным, они называются смешанными. Если частные производные второго порядка определены на G, то они сами являются функциями от x и y и могут иметь частные производные по этим переменным. Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка функции f и обозначаются:

  (8 штук, 6 смешанных).

Аналогично определяются частные производные и более высоких порядков. Если известны частные производные (n-1)-го порядка, то частные производные от этих частных производных называются частными производными п-го порядка и обозначаются:

Т.о., частные производные высших порядков определяются индуктивно, т.е. последовательно, начиная от первой.

Частные производные  и  взяты по одним и тем же переменным, но в разном порядке. Они не обязательно равны!

 Теорема 1. Пусть функция z =f(x,y) и ее частные производные  определены в некоторой окрестности точки (х0;у0), и в этой точке  и  непрерывны. Тогда .

Доказательство.

  Придадим значениям х0 и у0 приращения Δх и Δу так, чтобы точка (х0+Δх;у0+Δу) находилась в окрестности точки (х0;у0). Составим выражение

.

Чтобы легче запомнить, как строится выражение, рассмотрим прямоугольник АBСD с вершинами А(х0+Δх;у0+Δу), B(х0+Δх;у0), С(х0;у0), D(х0;у0+Δу). Тогда числитель равен алгебраической сумме значений функции f(x,y) в вершинах прямоугольника, причем значение в точке А берется со знаком «+», и при обходе прямоугольника против часовой стрелки знаки перед остальными слагаемыми чередуются.

 Введем вспомогательную функцию

.

Здесь числитель равен разности значений функции f(x,y) в точках сторон АD и ВС с одинаковыми абсциссами. Тогда ω можно записать в виде:

=

.

По условию существует , значит, существует и 

.

Т.к. функция φ(х) дифференцируема на отрезке [x0;x0+Δx], то она непрерывна на этом отрезке. Следовательно, к ней можно применить формулу Лагранжа:

=, где . (1)

Т.к. по условию существует и , то к функции , как к функции от у, на отрезке [у0;у0+Δу] можно тоже применить формулу Лагранжа:

,  (2)

где . Тогда из (1) и (2) следует

, где . (3)

 Теперь вместо функции φ(х) рассмотрим функцию

.

Тогда

=

.

Применим формулу Лагранжа к функции ψ(у)на отрезке [у0;у0+Δу]:

 ,

а затем к функции , как к функции от х, на отрезке [x0;x0+Δx]:

, где . (4)

Из соотношений (3), (4) следует

. (5)

 Пусть . Тогда

,
.

Т.к. по условию  и  непрерывны в точке (х0;у0), то

  и

.

Тогда, переходя в равенстве (5) к пределу при , получим

.

 Замечание. Утверждение, аналогичное теореме 1, может быть доказано и для смешанных производных любого порядка. Т.е. смешанные производные любого порядка при условии их непрерывности не зависят от порядка дифференцирования, например,

.

  Теорема 2. Если смешанные производные n – го порядка, отличающиеся только порядком дифференцирования, непрерывны на области G, то они на этой области равны.

Дифференциалы высших порядков

Формула Тейлора для функции двух переменных Пусть функция F(t) в некоторой окрестности V(t0) имеет производные до (n+1)-го порядка включительно

Неявные функции одной переменной

Пример. Вычислить производные первого и второго порядка функции, заданной неявно уравнением  (x>0).

Экстремум функции нескольких переменных Понятие экстремума, необходимое и достаточное условия


Тройной интеграл