Криволинейные интегралы Векторный анализ Поверхностные интегралы Числовые ряды Уравнения математической физики Элементы теории поля Найти циркуляцию векторного поля Интегральное исчисление Вычисление двойного интеграла

Понятие функции нескольких переменных

Определение. Пусть G – некоторое множество в . Отображение  называется действительной функцией n действительных переменных.

Обозначается .

Множество G называется областью определения функции, а множество значений, которые принимает u – множеством значений функции f.

В случае n=2 обычно пишут z=f(x,y), а при n=3 u=f(x,y,z).

Пример. Найти область определения функции .

D D(z):

. D

 Пусть дана функция двух переменных z=f(x,y) с областью определения . Функция f задается множеством точек . Значит, это множество можно изобразить в трехмерном координатном пространстве. Получим множество точек, которое называется графиком функции z=f(x,y). Часто (но не обязательно) графиком такой функции является поверхность. Не каждая поверхность может быть графиком функции двух переменных. Если поверхность является графиком функции двух переменных, то любая прямая, параллельная оси Оz пересекает ее не более, чем в одной точке.

Пример. D Рассмотрим функцию .

 - круг с центром в (0;0), радиусом R=2.

 

  - верхняя полусфера с центром в (0;0;0), радиусом R=2. D

 Пусть функция z=f(x,y) задана на . Пересечем график функции плоскостью z=a. В сечении получим линию

Спроектируем ортогонально эту линию на плоскость хОу. Линия f(x,y)=a лежит в D и называется линией уровня функции f.

Определение. Линией уровня функции z=f(x,y) называется множество точек (x,y) из области определения функции, в которых функция принимает одно и то же значение а.

Придавая а разные значения, будем получать различные линии уровня. Значит, если а – параметр, то f(x,y)=a – семейство линий уровня. Обычно в качестве а берут числа а1,а2,а3,…, образующие арифметическую прогрессию. В этом случае линии уровня дают некоторое наглядное представление о графике функции z=f(x,y). В тех местах, где линии уровня сгущены, функция возрастает быстрее, чем в тех местах, где они разрежены.

Аналогично вводится понятие поверхностей уровня функции трех переменных u=f(x,y,z): . Если а – параметр, то f(x,y,z)=а – семейство поверхностей уровня.

Предел и непрерывность функции двух переменных Понятие предела функции двух переменных

Повторные пределы Для функций нескольких переменных наряду с обычным понятием предела функции (при одновременном стремлении всех аргументов к их пределам) вводится понятие повторного предела, получаемого в результате ряда последовательных предельных переходов по каждому аргументу в отдельности в том или ином порядке. (Обычный предел функции n переменных называется n-кратным: двойным, тройным и т.д.)

Пример. Найти точки разрыва функции .


Тройной интеграл