Криволинейные интегралы Векторный анализ Поверхностные интегралы Числовые ряды Уравнения математической физики Элементы теории поля Найти циркуляцию векторного поля Интегральное исчисление Вычисление двойного интеграла

Пример. Найти циркуляцию векторного поля = yi – x j + z k вдоль окружности x = r cos t , y = r sin t , z = 1 в положительном направлении, т.е. 0 < t < 2

Решение : Ц =  = {dx = -r sin t ; dy = r cos t ; dz = 0} =

=  = - r2 = -2r2

Отношение циркуляции к площади круга  S = r2 постоянно Ц /S = -2, даже при r.

Из этого следует, что циркуляция в самой точке начала координат равна -2 .

Соединим две точки контура L дополнительной линией, которая разделит его на два контура L1, L2 . Тогда циркуляцию вдоль L  можно представить как сумму циркуляций вдоль малых контуров при одинаковом направлении прохождения. т.к. общую границу проходим

дважды в противоположных направлениях. Т.о., циркуляция по контуру L может быть представлена как сумма циркуляций по малым контурам, полученным путем наложения сетки линий на контур L. В пределе малым участком может оказаться отдельная точка. Тогда циркуляция по контуру сведется к сумме циркуляций вокруг всех точек охваченных контуром L. Такой переход к точкам позволяет сделать формула Стокса

 =  ( 20 )

которая сводит криволинейный интеграл по контуру L на произвольной гладкой поверхности к поверхностному интегралу по область  G ограниченной контуром L.

Перейдем в (19) к поверхностному интегралу 1 рода: ЦL =

 ( 21 )

Выражение в квадратных скобках можно представить как скалярное произведение двух векторов : вектора  = { } и вектора 

rot  (R’y – Q’z) i + (P’z – R’x) j + (Q’x - P’y) k ( 22 )

который наз. ротором (вихрем) векторного поля (M) = {P, Q, R}. В результате формула Стокса принимает следующую векторную форму

 =  ( 23 )

т.е. циркуляция векторного поля вдоль контура некоторой поверхности равна потоку вихря поля через эту поверхность.

Если в ( 23 ) размер G достаточно мал и вектора rot  и  почти не меняются в пределах G, то можно применить теорему о среднем и заменить (rot) его значением в отдельной точке M*. Тогда интеграл по G даст площадь поверхности S и ( 23 ) примет вид

(rot )|M* = 1/S  или |rot | cos = 1/S  ( 24 )

т.е. ротор характеризует величину циркуляции, приходящуюся на единицу площади поверхности охваченную контуром  L. При  = 0 циркуляция max. В (24), если S0, то M*M и ротор будет характеризовать циркуляцию вокруг отдельно взятой точки.

Опр. Ротором векторного поля(M) наз. вспомогательное векторное поле rot(M), вектора которого в каждой точке М определяют ориентацию плоскости, в которой эта циркуляция максимальна, а их модули |rot(M)| дают значение этой циркуляции.

Ротор векторного поля (M) = {P, Q, R} удобно записывать в виде оператора

rot (M) = x (M) =  ( 25 )

Физический смысл формулы Остроградского-Гаусса – циркуляция по произвольному замкнутому контуру в пространстве складывается из суммы циркуляций всех точек любой поверхности натянутой на этот контур.

Простейшие векторные поля : а) Трубчатое или соленоидальное векторное поле, если div  = 0 ; б) Потенциальное или безвихревое векторное поле, если rot  = 0 ; в) Гармоническое векторное поле , если div  = 0 , rot  = 0 .

Пример 11.Вычислить циркуляцию векторного поля  ={x + y2- z; 2x2– 2y2; zxy -1} вдоль контура АВСА, если АВС – треугольник с вершинами А( 2,0,0), В(0,2,0), С(0,0,1)

Решение.

Ц L =  = 

L = AB + BC + CA

AB: z = 0 , dz = 0 , y + x = 2 , dy = - dx , 2x 0

BC: x = 0 , dx = 0 , y + 2z = 2 , dy = - 2dz , 0z 1

CA: y = 0 , dy = 0 , x + 2z = 2 , dx = - 2dz , 1z 0

JAB = = (x3/3 – 11x2/2 + 12x |20 = - 26/3

JBC = = [4/3(2 – 2z)3 – z]|01 = 13/3

JCA =  = [6z2/2 – 5z]|01 = 2

Ответ : Ц L = JAB + JBC +  JCA = - 8/3

Пример 12. Вычислить вдоль замкнутого контура L: x2 + y2 = 2x циркуляцию плоского векторного поля  = { ;

Решение. Вычислим циркуляцию по формуле Грина

Ц L =

 = ()|x` - ()y` = - 6y

D: x2 + y2 = 2x  x2 – 2x + 1 + y2 = 1 (x – 1)2 + y2 = 1 

 Окружность с центром (1;0),  R = 1.

 J = { x = r cosj, y = r sinj } - переход к полярной

 системе координат и построение полярного уравнения

 x2 + y2 = 2x r2cos2j + r2sin2j = 2r cosj r = 2 cosj

Пределы изменения угла j находим из значения r в начале координат

 r = 2 cos j = 0  j = /2 , - /2  j /2 , 

Ц L = -6. J1 =  = r3/3  = 8/3 cos3j ,

 Ц L = - 16 = 4 cos4 j  = 0

Задачи для самостоятельного решения

1) Дано векторное поле (M) = { xz; yz; xy}. Найти div, rot. Опр. тип поля.

 Записать формулы Остроградского-Гаусса и Стокса в векторной и координатной форме.

2) Найти циркуляцию векторного поля  (M) = { y;-x;z} вдоль окружности x = Rcos t,

  y = Rsin t, z = 1 , (

3) Найти дивергенцию градиента функции u = ex + y + z

4) Показать, что V = 1/3  для тела произвольной формы. 

5) Показать, что rot(grad u) = 0, т.е. вихрь градиента любого скаляра равен нулю.

6) Найти циркуляцию вектора  (M) = -yi + xj по окружности x2 + (y – 1)2 = 1 .

7)  Вычислить вдоль замкнутого контура L: x2 + y2 = 4y циркуляцию плоского векторного поля  = { ; } .

Пример. Записать формулы Остроградского-Гаусса в векторной и координатной форме для векторного поля (M) = { -yz; -xz; yz}.

Уравнения математической физики Дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция u = u(x1, . . . ,xn) зависит от нескольких аргументов наз. дифференциальным уравнением в частных производных (ДУЧП)

Пример решения расчетного задания Задание 1. Найти общее решение уравнения u``xx - 2u``xy + u``yy + 2u`x - 2u`y = 0, приведя его к каноническому виду (Метод Даламбера).


Тройной интеграл