Криволинейные интегралы Векторный анализ Поверхностные интегралы Числовые ряды Уравнения математической физики Элементы теории поля Найти циркуляцию векторного поля Интегральное исчисление Вычисление двойного интеграла

Уравнения математической физики.

Основные уравнения матфизики.

Дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция u = u(x1, . . . ,xn) зависит от нескольких аргументов наз. дифференциальным уравнением в частных производных (ДУЧП)

F(x1, . . . ,xn , u , u/x1 , . . ., u/xn , . . . , u/x1k, . . . , u/xnk, . . . ) = 0

Порядком ДУЧП наз. порядок старшей производной. Любая функция, которая обращает уравнение в верное тождество наз. решением уравнения. Уравнения, в которые производные и неизвестная функция входят в первой степени, наз. линейными. 

При описании реальных процессов аргументами часто служат координаты x, y, z, время t и наиболее существенными оказываются линейные ДУЧП второго порядка, которые наз. уравнениями математической физики (УМФ). Это базовые уравнения теории электричества, квантовой механики и других разделов науки. Самый распространенный в природе процесс – колебательный и его описывает волновое уравнение u -  = 0, где= - оператор Лапласа для u = u(x, y, z, t).

Пр. Простейшее уравнение . Его решение  включает произвольную функцию  и поэтому наз. общим решением. Общее решение ОДУ включает только произвольные константы С. Уравнение  интегрируем дважды:    - произвольная функция, и  - общее решение с 2 произвольными функциями. Для отыскания частных решений вводят дополнительные условия.

Большинство УМФ это линейные ДУЧП 2 порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим случая двух независимых переменных. Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной к криволинейной системам координат.

 a11 + 2a12 + a22 + b1 + b2 + cu = F(x,y) ( 1 )

где a11, a12, a22 , b1 , b2 , c – константы, F(x,y) – задана, u(x,y) – искомая функция. Пусть однородное уравнение ( 1 ) (F(x,y) = 0) имеет два линейно независимых решения u1(x,y) , u2(x,y) [u1(x,y)/u2(x,y)const], тогда их линейная комбинация  С1 u1(x,y) +С2 u2(x,y) также является решением. Если однородное линейное ОДУ n – ого порядка имеет n линейно независимых решений, то ДУЧП ( 1 ) имеет бесконечное множество линейно независимых решений и любое из них нельзя представить как линейную комбинацию остальных. В решения может входить переменный параметр : u(x,y, ) или (x,y). Если  только целые числа n, то решениями могут быть также бесконечные, сходящиеся в некоторой области D, ряды , где Сn константы. Их можно дважды почленно дифференцировать и интегрировать.

Рассмотрим главные методы решения трех основных уравнений математической физики.

 Название

 Уравнение

Начальные условия

 Граничные условия

 а

 Волновое

 уравнение 

 

  для u(x,t)

 = a2

 a - const

u(x,t) – амплитуда

колебаний струны

  0£ x £ l, t > 0

lim u(x,t) = g(x)

lim = h(x)

 при t

lim u(x,t) = m1(t)

lim u(x,t) = m2(t)

при xи x® l - 0

- закон движения концов струны

 б

 Уравнение теплопроводности уравнение Фурье

 = a2

 a - const

lim u(x,t) = u0(x)

 при t

 0

lim u(x,t) = T1(t)

lim u(x,t) = T2(t)

при xи x

в

 Уравнение

 Лапласа

 для u(x,t) в области D c границей L

+= 0

 Нет

 Краевая задача : в

 каждой точке М  границы L задано значение функции

 u(M)|L =

Уравнение ( а ) описывает колебания струны, стержня, газа, электрические колебания и т.д. Уравнение (б) описывает процесс теплопроводности, фильтрации газа и т.д.(процессы распространения возмущений). Уравнение ( в ) описывает электромагнитные поля, процессы фильтрации, задачи гидромеханики. (стационарные процессы)

Начальные и граничные условия обеспечивают единственность решения и они имеют разную структуру для уравнений разных типов. При конкретных расчетах уравнения получают в самом общем виде ( 1 ) и поэтому важно сразу определить тип уравнения и правильно поставить граничные и начальные условия.

Классификация линейных ДУЧП 2 порядка.

Путем перехода к новым переменным в уравнении ( 1 ) можно исключить некоторые производные 2 порядка. Возникают три варианта упрощенных (канонических) уравнений в зависимости от соотношения между коэффициентами а11, а12, а22 .

Пусть даны две взаимнооднозначные системы координат xOy и pOq, связанные соотношениями x = x(p,q), y = y(p,q) и  p = p(x,y), q = q(x,y).  Уравнение координатной линии p = const в системе координат хОу имеет вид p(x,y) = const. Дифференциал этой функции двух переменных равен нулю 

 dp = dx + dy = 0   = - dy/dx  ( 2 )

т.е. производные  и  пропорциональны друг другу в каждой точке плоскости и коэффициент пропорциональности - dy/dx = (x,y) ( 3 ) 

равен скорости изменения переменной  у вдоль линии p = const , проходящей через данную точку. Каждая криволинейная система координат pOq имеет свою характеристику (x,y) и по ней легко определить само уравнение координатной линии 

dy = -(x,y)dx  y + (x,y) dx = C ( p(x,y) = const ). ( 4 )

 Перейдем к новым переменным в ( 1 ) u(x,y) = u(x(p,q), y(p,q)) = u(p,q). Вычислим первые производные и во вторых производных выделим члены, содержащие  и

=+; = + ; =()2 + ()2 +. = ()2 + ()2 +. . . ;  =  + + . . . ,

В результате, в уравнении  ( 1 ) перед производными и  появится множители A11 = a11()2 + 2a12 + a22()2 и A22 = a11()2 + 2a12 + a22()2 

с учетом пропорциональности производных ( 2 ) они примут вид

А11 = ()2 (a112 + 2a12 + a22) = a11()2(-1)(  - 2), 

А22 = ()2 (a112 + 2a12 + a22) = a11()2(-1)(  - 2), ( 5 )

где 1,2 = (-a12 )/ a11 - корни характеристического уравнения

a112 + 2a12 + a22 = 0 , ( 6 )

а =(x,y) - характеристика выбранной системы координат. Если наложить условие (x,y) =-const во всех точках плоскости и выбрать =1 или =2, то А11 = А22 = 0 и , из уравнения выпадают. Переход от характеристики к уравнению координатной линии ( 4 ) в этом случае дает общий интеграл y + x = C . Это решение определяет зависимость между х и y при движении вдоль координатной линии p(x,y) = С или q(x,y) = С, т.е. определяет явный вид новых координат.

Если D = a122- a11 a22 > 0 , то 1 ¹ 2 и новые координаты p = y +1x, q = y +2x это прямые, пересекающиеся по углом a , где tg a = (1 - 2) / (1 - 12).

Если D = 0 , то 1 = 2 = . Это дает только одну координату p = y +x, а выбор второй достаточно произволен.

Если D < 0 , то общий интеграл уравнения ( 2 ) имеет вид функции комплексной переменной  j(x,y) ± iy (x,y) = C1,2 и p = j(x,y) , q = y (x,y) 

Таким образом, в зависимости от знака D возникают три варианта исключения производных второго порядка из ( 1 ) и, соответственно, 3 типа канонических уравнений

1) D > 0 Гиперболический тип уравнения. Приводится к виду

  + b1* + b2*+ c*u = F(p,q) или - + b1* + b2*+ c*u = F(p,q)

2) D = 0 Параболический тип уравнения. Приводится к виду

 + b1* + b2* = F(p,q)

3) D < 0 Эллиптический тип уравнения. Приводится к виду

 + + b1* + b2*+ c*u = F(p,q)

Различают три вида задач для этих уравнений :

задача Коши, для уравнений гиперболического и параболического типов – задаются начальные условия, граничные отсутствуют, область определения уравнения и его решения – вся плоскость;

краевая граничная задача, для уравнений эллиптического типа - задаются граничные условия на границе L = , области определения неизвестной функции, начальные условия отсутствуют;

смешанная задача, для уравнений гиперболического и параболического типов -задаются начальные и граничные условия.

Задача Коши для волнового уравнения в свободном пространстве.

 = a2 , t > 0 , xR , u(x,t)|t=+0 = (x) , |t=+0 = (x) ( 7 )

Здесь даны начальные, но нет граничных условий. Задано значение функции и её производной в каждой точке оси Ох в начальный момент. Коэффициенты а11 = 1, а12 = 0, а22 = - а2 приводят к характеристическому уравнению 2 = a2 и новым переменным

 p = x – at , q = x + at ( 8 )

В этом случае =  ;  ( 9 )

=  ;  ( 10 )

Подставим ( 9 ) , ( 10 ) в уравнение ( 7 ) и получим  ( 11 )

Уравнение ( 11 ) запишем в виде  или  , т.е.  не зависит от q , а  не зависит от p . Отсюда следует, что общее решение волнового уравнения в свободном пространстве имеет вид

u(p,q) = F1(p) + F2(q) = F1(x – at) + F2(x + at) ( 12 )

где F1(p) и F2(q) - произвольные функции. Это общее решение Д’Аламбера описывает две встречные плоские волны. Действительно, значение F1(p) сохраняется при x – at = const , но время t меняется непрерывно и, следовательно, должна также непрерывно меняться координата х со скоростью а . Происходит движение фронта плоской волны. В F2(q) скорость - а .

Конкретный вид функций F1(p) , F2(q) в каждом частном решении определяется начальными условиями

|t=0 = = 

Проинтегрируем это равенство в пределах от 0 до х и выпишем второе условие ( 7 )

F1(x) - F2(x) = -  + 2C ; F1(x) + F2(x) = j(x)

Решение этой системы

F1(x) = ½ j(x)  -  + 2C , F2(x) = ½ j(x) +  - C

Для перехода от u(x,0) к u(x,t) заменим х на  x – at в F1(x) и х на x + at в F2(x), т.е. сформированные вдоль оси Ох в начальный момент распределения F1(x), F2(x) начнут перемещаться в пространстве со скоростью  а и –а . Решение Д’Аламбера задачи Коши в общем случае

u(x,t) = ½ [j(x - at) + j(x + at)] + 1/2a [  +  ] =

= ½ [j(x - at) + j(x + at)] + 1/2a  ( 13 )

Периодическая функция с периодом  2 определена как f(x) = x , . Разложить ее в ряд Фурье. Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле.

Разложение в ряд Фурье непериодических функций. В ряд Фурье можно разлагать не только периодические функции, но и любые ограниченные функции, определенные на конечном участке числовой оси, если вне этого участка поведение функции нас не интересует.  Если участок оси симметричен [-l, l] , то используется разложение ( 26 ), ( 27 ). Если функция f(x) задана на сегменте [0, l], то для разложения в ряд Фурье достаточно доопределить ее в сегменте [-l, 0] произвольным образом, а затем разложить в ряд Фурье, считая ее заданной в сегменте [-l, l]. Наиболее удобно доопределять функцию условием четности f(-x) = f(x) или нечетности f(-x) = -f(x). В этом случае используются разложение только по синусам или только по косинусам в формулах 

Вывод уравнения колебаний струны. Пусть свободно изгибающаяся струна имеет силу натяжения на концах - T0, r - линейная плотность струны [ г/см ] , u(x,t) – амплитуда отклонения от оси Ох , F(x,t) – линейная плотность силы, действующая на струну ^  Ох [н/см ] .


Тройной интеграл