Криволинейные интегралы Векторный анализ Поверхностные интегралы Числовые ряды Уравнения математической физики Элементы теории поля Найти циркуляцию векторного поля Интегральное исчисление Вычисление двойного интеграла

Криволинейные интегралы 1-ого рода.

Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x) , [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t1<t<t2). Вдоль кривой распределены массы с плотностью (M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы.

1) Операция разбиения. Разделим кривую L на  n участков некоторыми точками А0 = А, А1, . . . , Аn = В. Соединим соседние точки отрезками АiАi+1 длиной si и выделим на каждом из них некоторую точку Мi().

Приближенно масса отдельного отрезка равна mi = (Mi) si , 

Массу всех отрезков определяет интегральная сумма

m(n) = (Mi) si ( 1 )

4) Переход к пределу n дает точное решение задачи.

Главные особенности интегральной суммы ( 1 ) : 1) включает не только параметры кривой L , но и дополнительную функцию двух переменных f(x,y) ; 2) приобретает физический смысл .

Опр.  Криволинейным интегралом 1-ого рода от функции f(x,y) вдоль кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки. Переменной интегрирования является длина кривой s.

J = lim f() si  f(x,y) ds   f(x,y) ds ( 2 )

n

Механический смысл криволинейного интеграла 1 рода : общая масса тел распределенных вдоль кривой с переменной плотностью.

Криволинейный интеграл сводится к обыкновенному определенному интегралу несколькими способами, в зависимости от способа описания кривой L.

Кривая L задана параметрически : x = x(s) , y = y(s) , 0sS , где s – длина кривой. Тогда

f(x,y) ds = f(x(s), y(s)) ds ( 3 )

2) Кривая L задана через произвольный параметр t : x = (t) , y = (t) , t1tt2 . 

Тогда, длину отрезка АiАi+1  можно представить в виде

*s = 

 и в пределе n lim = j`t , lim  = f`t , 

 *s  ds = dt

f(x,y) ds = f((t) ,(t)) dt ( 4 )

3) Кривая L задана явным уравнением : y = y(x) на [a,b] .

Тогда *s = или ds = dx . В результате имеем

f(x,y) ds = f(x,y(x)) dx ( 5 )

Основные свойства криволинейного интеграла 1 рода Обычный определенный интеграл есть частный случай криволинейного интеграла, когда в качестве L берется отрезок оси Ох. Поэтому свойства интегралов аналогичны.

Вычисление криволинейного интеграла 2 рода. Кривая L задана через произвольный параметр t : x =(t), y = (t), z = (t), t1tt2 . Тогда, dx = `dt , dy = `dt , dz = `dt  и имеем для плоской кривой

Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды x = t –sin t, y = 1 – cos t, o £ t £ p Решение:  Координаты центра тяжести однородной дуги кривой L вычисляются по формулам : xc =  , yc =  , где s – длина дуги. 


Тройной интеграл